2 Grundlagen

Die Darstellung des Spektrums ist ein grundlegendes Hilfsmittel zur Beschreibung analoger

und digitaler Signale. Es zeigt die frequenzmaige oder spektrale Zusammensetzung

eines Signals.

Im Gegensatz zum ursprunglichen Zeit- oder Originalbereich ist das Spektrum eine Signaldarstellung

im Frequenz- oder Bildbereich. Diese beiden Darstellungsformen sind

durch eine umkehrbar eindeutige Abbildung ineinander uberfuhrbar.

Diese Umkehrbarkeit bedeutet, dass sich durch diese so genannte

"

Transformation in den

Frequenzbereich\ der Informationsgehalt eines Signals nicht andert. Das Signal wird nur

anders dargestellt. Grundsatzlich gibt es verschiedene solcher Transformationen. Dieser

Versuch behandelt die Fourier Transformation, die eine der wichtigsten Transformationen

der Elektrotechnik darstellt. Wie bereits erwahnt werden die Transformationen stets an

Signalen durchgefuhrt. Daher werden wir uns zunachst mit einigen Signaleigenschaften

und Moglichkeiten zur Klassizierung beschaftigen bevor wir uns die Transformation an

sich genauer ansehen.

2.1 Signaleigenschaften und Signalklassikation

Es ist naheliegend, dass sich Signale anhand ihres Zeitverlaufs unterscheiden konnen.

Daher betrachten wir zunachst die Unterteilung anhand des Zeitverlaufs. Abbildung 1

stellt eine Ubersicht uber die in diesem Praktikum gemachten Unterscheidungen dar.

Signal

deterministisch stochastisch

periodisch nicht periodisch

harmonisch

Abbildung 1: Unterteilung der Signale anhand des Zeitverlaufs.

2.1.1 Deterministische Signale

Wir konnen deterministische Signale und Ereignisse fur alle Zeiten (Vergangenheit, Gegenwart,

Zukunft) durch analytische Ausdrucke wie zum Beispiel eine mathematische

Formel beschreiben. Sie sind damit auch fur beliebige Zeiten voraussagbar und konnen

beliebig oft identisch reproduziert werden.

Abbildung 2a zeigt den Signalverlauf eines deterministischen Signals. Fur 0:6 s < t < 1:4 s

ist x1(t) = 1V sonst 0 V. Damit ist das Signal x1(t) fur alle Zeitpunkte t festgelegt. Eine

solche Beschreibung von x1(t) nennt man eine Darstellung im Zeitbereich, weil t die

unabhangige Variable ist.

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 3

2.1 Signaleigenschaften und Signalklassikation 2 GRUNDLAGEN

Deterministische Signale und Ereignisse sind normalerweise leicht zu erzeugen, einfach zu

identizieren und problemlos zu messen. Daher werden sie haug in der Messtechnik und

in der Systemanalyse verwendet.

2.1.2 Stochastische Signale = Zufallssignale

Zufallige Signale (Zufallsvariable, Zufallsgroe, Rauschsignal) lassen sich als solche nicht

in geschlossener Form darstellen. Sie weisen einen nicht vorhersagbaren Verlauf auf. Dies

erschwert ihre Beschreibung.

Zufallssignale konnen einerseits Nutzsignale sein, deren Information in ihrem dem Empfanger

noch unbekannten Verlauf enthalten ist, sie konnen andererseits Storsignale sein, wie beispielsweise

das nicht determinierte Rauschen eines Widerstandes, eines Verstarkers oder

einer Antenne. Abbildung 2b zeigt ein Beispiel eines stochastischen Signals x2(t).

− 0 0.5 1 1.5 2 0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit (s)

Amplitude (V)

(a) Beispiel deterministisches Signal x1(t).

− 0 0.5 1 1.5 2 0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit (s)

Amplitude (V)

(b) Beispiel stochastisches Signal x2(t).

Abbildung 2: Veranschaulichung verschiedener Signaltypen.

2.1.3 Periodische Signale

Ein periodisches Signal x(t) verlauft mit der Zeit so, dass ein beliebig geformter Vorgang

sich endlos und vollstandig wiederholt. Die (Zeit-)Periode T gibt an wie viel Zeit ein

solcher Vorgang benotigt bis er von neuem beginnt. Damit ist jedes periodische Signal

deterministisch.

Denition: Periodizitatsbedingung

x(t) = x(t + kT) fur k 2 Z und T konstant, (1)

das heit, das Signal x(t) und das dagegen um die Zeitperiode T verschobene Signal

x(t + kT) sind deckungsgleich. Dies wird in Abbildung 3 am Beispiel des periodischen

Signals x3(t) verdeutlicht.

Der Reziprokwert der Zeitperiode T fuhrt auf die (Grund-) Frequenz fp, die angibt wie

oft sich der Vorgang pro Zeiteinheit wiederholt.

Denition: Frequenz

fp =

1

T

[Hz] (2)

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 4

Jedes periodische Signal setzt sich aus endlich oder unendlich vielen sinus- bzw. consiusf

ormigen Teilsignalen zusammen. Diese Eigenschaft werden wir in Abschnitt 2.2.1

ausnutzen.

2.1.4 Nichtperiodische Signale

Nichtperiodische Signale sind alle deterministischen, zeitlich nicht begrenzten Signale,

die die Periodizitatsbedingung nicht erfullen. Zu den nichtperiodischen Signalen gehoren

beispielsweise abklingende Schwingungen oder die Sprungfunktion.

2.1.5 Harmonische Signale

Die harmonischen Signale sin(2ft) und cos(2ft) sind ein Spezialfall der periodischen

Signale. Sie stellen die Basissignale der Elektrotechnik dar und werden in vielfaltiger

Weise erzeugt und verwendet. In den meisten Fallen handelt es sich um Zeitsignale unterschiedlicher

Frequenz. Ihr Verlauf lasst sich gema (3a) darstellen. Hier wurde die

Darstellung mit Cosinus Funktion gewahlt. Die Sinus Darstellung ist jedoch aquivalent.

Darstellung harmonischer Signale mittels Cosinus Funktion

x(t) = ^x cos((t) + 0) (3a)

mit (t) = 2fpt =

2

T

t (3b)

und 0 = 2fp
t =

2

T

t (3c)

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 5

2.1 Signaleigenschaften und Signalklassikation 2 GRUNDLAGEN

x(t) steht dabei allgemein fur Signal. Es kann sich dabei um eine Spannung u(t), einen

Strom i(t) oder eine Leistung p(t) handeln. Die einzelnen zeitabhangigen Werte x(t)

heien Augenblickswerte oder Momentanwerte.

^x entspricht dem Maximalwert, den das Signal annehmen kann und wird als Scheitelwert

oder Amplitude bezeichnet.

Der Zusammenhang zwischen Periodendauer T und Frequenz f wurde bereit in (2)

eingefuhrt. In Abbildung 4 ist die Periodendauer exemplarisch eingezeichnet. Im Spezialfall

der harmonischen Signale entspricht die Periodendauer dem zeitlichen Abstand

zwischen zwei gleichen, einander nachstliegenden Funktionswerten gleicher Steigung der

Cosinus Kurve.

Die Frequenz entspricht dem Kehrwert der Periodendauer, d.h. der Anzahl der Perioden

pro Zeiteinheit. Sie kann damit durch einfaches

"

abzahlen\ der Nulldurchgange pro

Zeitintervall bestimmt werden. Das sogenannte Gleichsignal x(t) = const. als zeitlich konstantes

Signal ist ein Spezialfall des harmonischen Signals. Es besitzt die Periodendauer

unendlich beziehungsweise die Frequenz Null.

Der Nullphasenwinkel 0 legt den Anfangswert des Signals zum Zeitpunkt t = 0 fest.

Er wird in der Elektrotechnik normalerweise in Grad angegeben.

Nimmt man an, dass Abbildung 4 durch Verschiebung aus einer cos-Funktion nach rechts

entstanden ist, lasst sich der Nullphasenwinkel aus dem zeitlichen Abstand
t des ersten

Maximums vom Koordinatenursprung gema (3c) ermitteln.

Der Nullphasenwinkel weist in diesem Fall ein negatives Vorzeichen auf (nacheilend gegen

uber dem urspruglichen Signal). Bei einer Verschiebung nach links ergibt sich ein

positiver Nullphasenwinkel (voreilend gegenuber dem ursprunglichen Signal).

− 0 0.5 1 1.5 2 1

−0.5

0

0.5

1

T

t

Zeit (s)

Amplitude (V)

Abbildung 4: Ausschnitt des harmonischen Signals x4(t).

Vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet, besitzen harmonische Funktionen eine

Reihe uberaus nutzlicher Eigenschaften. Beispielsweise fuhren dierenzieren und integrieren

wieder zu harmonischen Signalen. Das heit die Signalform bleibt erhalten.

Daraus folgt, dass die Form eines harmonischen Signals beim Durchgang durch lineare

dynamische Systeme wie beispielsweise Hochpasslter erhalten bleibt. Diese Eigenschaft

wird in den Praktikumsversuchen 4 und 6 ausgenutzt werden.

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 6

Zur Charakterisierung elektrischer Signale werden drei weitere Bezeichnungen eingefuhrt.

Diese sind in Abbildung 5 veranschaulicht.

0 0.5 1 1.5 2

-1

−ˆx

-0.5

0

¯x

0.5

1

ˆx

1.5

xeff

xSS

Zeit (s)

Amplitude (V)

Abbildung 5: Ausschnitt des harmonischen elektrischen Signals x5(t).

Der arithmetische Mittelwert x = xDC uber eine Periode bezeichnet man in der Elektrotechnik

als Gleichanteil oder DC-Anteil eines Signals. Die allgemeingultige mathematische

Beschreibung fur periodische Signale lasst sich wie folgt angeben:

x = xDC =

1

T

Z t0+T

t0

x(t)dt : (4)

Bei harmonischen Signalen entspricht der Gleichanteil der Hilfsnullinie, auf die sich die

Amplituden beziehen wie in Abbildung 5 dargestellt. In technischen Anwendungen z. B.

bei einem Funktionsgenerator nennt man den DC-Anteil auch

"

Oset\.

Der Spitze-Spitze Wert xSS, auch Peak to Peak Spannung genannt, gibt die Hohe der

Auslenkung vom niedrigsten Wert bis zum hochsten Wert eines periodischen Vorgangs an

und entspricht damit der Dierenz zwischen positivem und negativem Maximalausschlag.

Bei harmonischen Signalen entspricht der Spitze-Spitze Wert der doppelten Amplitude.

xSS = +^x 􀀀 (􀀀^x) (5)

Unter dem Eektivwert xe versteht man den quadratischen Mittelwert einer zeitlich

veranderlichen Groe. Er gibt den Wert einer Gleichgroe (Gleichstrom, Gleichspannung)

an, die an einem ohmschen Widerstand wahrend einer Periode dieselbe elektrische Energie

umsetzt, wie die entsprechende Wechselgroe. Mathematisch gesehen ist der Eektivwert

das Integral uber das Quadrat einer Spannung bzw. eines Stroms uber eine Periode und

wird wie folgt berechnet:

xe =

q

x2(t) =

s

1

T

Z t0+T

t0

x2(t)dt : (6)

Der Eektivwert wird auch RMS-Wert (root mean square) genannt. Bei harmonischen

Signalen ergibt er sich damit zu

xe =

1

p2

^x : (7)

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 7

2.2 Transformation in den Frequenzbereich 2 GRUNDLAGEN

2.2 Transformation in den Frequenzbereich

Wie im vorherigen Abschnitt deutlich wurde, ist die Bestimmung der Frequenz fur harmonische

Signale trivial. Damit gestaltet sich auch die Transformation in den Frequenzbereich

als sehr einfach.

Wie sieht es nun jedoch bei komplizierteren Signalverlaufen aus? Ein einfaches Beispiel

ist dieser Ausschnitt aus einem Audiosignal, in Abbildung 6. Hier ist es nicht mehr ohne

weiteres moglich, die Frequenz durch einfaches Abzahlen der Nulldurchgange zu bestimmen.

0 5 10 15

−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit (ms)

Amplitude (V)

Abbildung 6: Ausschnitt aus einem Audiosignal.

Das menschliche Gehor zeigt uns wie dieses Problem gelost werden kann. Ein Audiosignal

kommt am Ohr als Schallwelle an. Diese wird durch das Trommelfell an das Innenohr weitergeleitet

und erzeugt in der dortigen Flussigkeit eine Druckwelle. Durch die Druckwelle

werden, je nachdem welche Frequenzen im Audiosignal enthalten sind, unterschiedliche

Haarzellen in Resonanz versetzt. Da bestimmte Haarzellen mit bestimmten Nervenfasern

verbunden sind, bestimmt dies die Tonhohe. Dadurch wird das Audiosignal in seine unterschiedlichen

Frequenzanteile zerlegt und man kann horen ob es sich um einen hohen

oder einen tiefen Ton oder um ein Gemisch aus mehreren Tonen handelt.

Die Lautstarke ergibt sich aus der Starke des Schalldrucks und der davon abhangigen

Starke der Resonanz der Haarzellen. Statt einer Analyse im Zeitbereich wird das Signal

folglich in seine einzelnen Frequenzkomponenten zerlegt. Das eine komplizierte Problem

wird dadurch in viele einfach zu losende Probleme uberfuhrt. Die Uberlagerung der

Einzellosungen ergibt schlielich die Gesamtlosung.

2.2.1 Fourier Reihe

Um diese Zerlegung in die einzelnen Frequenzkomponenten zu verstehen, betrachten wir

zunachst den umgekehrten Weg. Dazu konstruieren wir ein periodisches Signal, welches

bestimmte Frequenzanteile einer festgelegten Starke enthalt.

Wie bereits in Abschnitt 2.1.3 erwahnt wurde, konnen periodische Zeitfunktionen x(t)

als Uberlagerung harmonischer Funktionen dargestellt werden. Damit lasst sich eine periodische

Funktion in eine Reihe entwickeln.

Mit (1) lasst sich das periodische Signal x(t) als endliche oder unendliche Reihe harmonischer

Funktionen darstellen, deren Frequenzen fk ganze Vielfache k der Frequenz f0 = 1

T

sind. Mathematisch lasst sich dieser Zusammenhang zwischen den einzelnen Frequenzen

wie folgt dargestellt:

fk = k
f0 = k

1

T

: (8)

Der Ausdruck fur die eigentliche Reihendarstellung des periodischen Signals x(t) ist folgender:

x(t) =

1

2

A0 +

X1

k=1

Ak
cos(2kf0
t + k) : (9)

Dabei ist 1

2A0 der Signalteil bei der Frequenz 0, Ak sind die Amplituden und k

die Phasenwinkel der k-ten harmonischen Funktion xk(t). Diese Darstellung heit

Fourier Reihe.

Man erhalt eine Darstellung im Frequenzbereich, indem man die Amplituden Ak uber

den Frequenzen k
f0 auftragt. Die Frequenz dient folglich als unabhangige Variable.

Beispiel: Ziel ist es ein Signal mit Frequenzkomponenten bei f1 = 1 Hz, f2 = 5 Hz und

f3 = 10 Hz zu konstruieren, wobei alle 3 Komponenten

"

gleich stark\ enthalten sein

sollen, d.h. A1 = A2 = A3 = 1V. Abbildung 7a zeigt die Darstellung dieses Zielsignals im

Frequenzbereich. Mit (9) ergibt sich fur das gesuchte Signal x(t), wenn die Phasenwinkel

k zu Null angenommen werden:

x(t) = 1Vcos(2
1 Hz
t) + 1Vcos(2
5 Hz
t) + 1Vcos(2
10 Hz
t) : (10)

Abbildung 7b zeigt die einzelnen Signalkomponenten im Zeitbereich, wahrend das Summensignal

x(t) in Abbildung 8 dargestellt ist.

Bei der Zerlegung eines periodischen Zeitsignals in seine Frequenzkomponenten wird genau

wie im vorherigen Beispiel einer Konstruktion eines solchen Signals die Tatsache

ausgenutzt, dass sich periodische Signale als Summe harmonischer Signale darstellen lassen.

Im Zeitbereich kann dies durch (9) beschrieben werden.

Im Frequenzbereich gilt ein ahnlicher Zusammenhang. Anschaulich kann dies folgenderma

en erklart werden. Der Ubergang vom Zeit in den Frequenzbereich ist eine lineare

Abbildung. Nach den Satzen der Mathematik bleibt damit eine Summe im Zeitbereich

auch im Frequenzbereich als Summe erhalten.

Da jedes einzelne harmonische Signal nur aus einer einzigen Frequenzkomponente besteht,

setzt sich das periodische Signal im Frequenzbereich aus der Summe der Frequenzen aller

harmonischen Signale zusammen. Aus (8) und (9) wird ersichtlich, dass ein periodisches

Signal nur Frequenzkomponenten enthalt, die vielfache der Grundfrequenz 1=T sind. Beim

Spektrum eines periodischen Signals handelt es sich also um ein diskretes Linienspektrum.

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 9

2.2 Transformation in den Frequenzbereich 2 GRUNDLAGEN

0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz (Hz)

Amplitude (V)

(a) Zielsignal im Frequenzbereich.

0 0.5 1 1.5 2 −1

0

1

Zeit (s)

Amplitude (V)

0 0.5 1 1.5 2 −1

0

1

Zeit (s)

Amplitude (V)

0 0.5 1 1.5 2 −1

0

1

Zeit (s)

Amplitude (V)

(b) Einzelnen Signalkomponenten der

Reihendarstellung.

Abbildung 7: Beispiel zur Signalsynthese.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

Zeit (s)

Amplitude (V)

Abbildung 8: Zeitbereichsdarstellung des konstruierten Signals.

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 10

Es geht nun darum das Summensignal zu zerlegen und herauszunden, welche Harmonische

wie stark enthalten ist. Dazu wahlen wir eine andere Darstellungsmoglichkeit fur

(9). Diese erhalt man mit Hilfe der Eulerschen Formel cos() = 1

2(ej + e􀀀j):

x(t) =

1

2

A0 +

1

2

X1

k=1

Ak

􀀀

ej(2kf0t+k) + e􀀀j(2kf0t+k)

(11)

=

kX=1

􀀀1

1

2

Akej(2kf0t+k) (12)

=

X1

􀀀1

1

2

Akejkej2kf0t (13)

=

X1

􀀀1

Xkej2kf0t: (14)

Der Ausdruck aus (14) heit komplexe Fourier Reihe. Hier ist Xk ein komplexer Koe-

zient, der die Amplitude Ak

2 der k-ten Harmonischen und den zugehorigen Phasenwinkel

k in einer komplexen Zahl zusammenfasst. Die Gesamtheit der Xk fur k = 􀀀1::: +1 nennt man das zweiseitige Amplitudenspektrum X(f) der periodischen Zeitfunktion x(t).

Als Funktion der Frequenz ist es nur an den Stellen f = k
f0 = k
1

T deniert. Bei der

Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier Reihe erhalt man, wie bereits

zuvor deutlich wurde, im Frequenzbereich eine Darstellung mit diskreten Werten.

Die Fourier Koezienten Xk erhalt man durch Umkehrung von (14). Dabei geht die

Summe aufgrund der kontinuierlichen Darstellung im Zeitbereich in ein Integral uber.

Entsprechend der Anweisung zur Erstellung einer Fourier Reihe ergeben sich die Fourier

Koezienten damit zu:

Xk(k
f0) =

1

T

Z T=2

􀀀T=2

x(t)e􀀀j2kf0t dt: (15)

Wird die Berechnung des Spektrums digital per Software, mittels eines Spektrumanalysers

oder uber die in einem Oszilloskop implementieren Funktionen durchgefuhrt, stehen

zur Berechnung nur eine endliche Anzahl an Werten zur Verfugung. Das bedeutet, die

Bestimmung des Spektrums erfolgt in diskreter Form. Die verwendete Software bietet

fur die Transformation in den Frequenzbereich eine Routine an, die FFT (Fast Fourier

Transformation) genannt wird. Zur Transformation des Signals in den Frequenzbereich

wird also (15) gelost. Der umgekehrte Weg erfolgt uber die Berechnung von (14).

Damit konnen wir nun zu unserem ursprunglichen Problem zuruckkehren und das Audiosignal

in den Frequenzbereich transformieren um die darin enthaltenen Frequenzen zu

bestimmen. In diesem Praktikum uberlassen wir das Losen der beiden Gleichungen dem

Oszilloskop oder dem PC. Dazu nutzen wir MATLAB, ein machtiges Software Tool zur

Losung mathematischer Probleme und zur graschen Darstellung der Ergebnisse.

Eine gute Einfuhrung in die Syntax wird im MATLAB Primer der Universitat Aachen

gegeben. Dieser ist auf der Internetseite zum Praktikum bereitgestellt. Um das Praktikum

durchfuhren zu konnen empehlt es sich vor der Durchfuhrung des Versuchs mit den

wichtigsten Grundlagen vertraut zu machen.

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 11

2.2 Transformation in den Frequenzbereich 2 GRUNDLAGEN

2.2.2 Logarithmische Groen

Die Spektren von Signalen werden haug nicht in einer absoluten Angabe der Spannung

oder Leistung dargestellt sondern als logarithmische Groe in Dezibel (dB). Die Angabe

in Dezibel hat den Vorteil, dass in einfacher Weise ein Signal uber mehrere Dekaden dargestellt

werden kann, was in absoluten Groen so nicht moglich ist. Zu beachten ist, dass

es sich bei logarithmischen Groenangaben immer um das Verhaltnis zweier absoluten

Groen handelt. Um einen einzelnen Spannungs- oder Leistungspegel in einer logarithmischen

Groe angeben zu konnen muss immer eine Bezugsgroe angegeben werden. Als

Bezugsgroe fur Spannungen wird typischerweise 1 μV oder 1V verwendet, fur Leistungen

1mW oder 1 W. Die resultierenden logarithmischen Groen werden dann mit dBu,

dBV, dBm oder dBW bezeichnet.

Fur die Umrechnung zwischen absoluten und logarithmischen Groen ist auerdem zu

beachten, ob es sich um eine Spannung (Strom) oder um eine Leistung handelt. In Gleichungen

(16) und (17) ist die Umrechnung gezeigt.

Spannung (Strom): Leistung:

UdB = 20 dB
log10



Uabs,2

Uabs,1



PdB = 10 dB
log10



Pabs,2

Pabs,1



(16)

Uabs,2

Uabs,1

= 10

UdB

20 dB

Pabs,2

Pabs,1

= 10

PdB

10 dB (17)

Der Grund fur die beiden unterschiedliche Faktoren 10 dB und 20 dB lasst sich einfach

zeigen. Fur die elektrische Leistung gilt:

P =

U2

R

= I2
R: (18)

Auerdem gilt das Logarithmusgesetz

log(xy) = y
log(x): (19)

Einsetzten von (18) in (19) liefert den um zwei groeren Vorfaktor bei der Berechnung

mit Spannungen (Stromen) gegenuber der Berechnung mit Leistungen.

2.2.3 Bandbreite

Zur Angabe der

"

Breite\ oder

"

Ausdehnung\ eines Spektrums verwendet man den Begri

Bandbreite B. Sie ist deniert als Dierenz der oberen Grenzfrequenz f2 und der

unteren Grenzfrequenz f1 eines Signals oder Systems. Das geometrische Mittel dieser

beiden Frequenzen ist die Mittenfrequenz f0. In Abbildung 9 ist diese dargestellt.

Die Denition der Grenzfrequenzen bestimmt direkt den Frequenzbereich der Signalbandbreite.

Idealer Weise bezieht sich die Signalbandbreite auf den Frequenzbereich, in dem

das Signal eine Amplitude ungleich Null besitzt. Damit sind die Grenzfrequenzen als

diejenigen Frequenzen deniert, oberhalb bzw. unterhalb derer die Amplitude Null ist.

Abbildung 9a veranschaulicht diese ideale Denition. Hier ist zu beachten, dass in diesem

Diagramm die Amplitude logarithmisch in dBV aufgetragen ist. Der Wert Null fur die

Amplitude entspricht hier deshalb dem Wert minus unendlich in dBV.

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 12

Da dieser Frequenzbereich einer Signalamplitude ungleich Null in der Realitat sehr gro

oder sogar unendlich ist, wird diese Denition ublicherweise weicher formuliert. Statt

dessen wird die Bandbreite als Frequenzbereich deniert innerhalb dessen die Signalamplitude

oberhalb eines gewissen Grenzwertes relativ zu seinem Maximalwert liegt.

Die am haugsten verwendete Denition der Bandbreite bezieht sich auf die −3 dB

Bandbreite. Bei f−3 dB ist die Spannung relativ zu ihrem Maximum um 3 dB abgesunken.

Dies entspricht einem Faktor von 10

􀀀3 dB

20 dB = p1

2  0:707 des Maximums. Wird

allerdings die Leistung gemessen, dann entsprechen −3 dB einem Faktor von 10

􀀀3 dB

10 dB = 0:5

des Maximums. Wie in Gleichung (18) gezeigt, hangt die Leistung quadratisch von der

Spannung ab. Dies ist auch aus beiden unterschiedlichen Faktoren der −3 dB-Bandbreite

ersichtlich: 0:5 =



p1

2

2

.

2.2.4 Au

osung der FFT

Aus der diskreten Fourier Transformation, wie sie in Kapitel 2.2.1 hergeleitet wurde,

ergibt sich wie bereits erwahnt ein Linienspektrum. In der Praxis steht man oft vor dem

Problem, dass man zwei beliebig dicht beieinanderliegende Frequenzkomponenten eines

Signals noch als zwei einzelne Komponenten erkennen mochte. Dazu muss die Au

osung

der FFT erhoht werden. Anders ausgedruckt, der kleinste darstellbare Frequenzschritt

zwischen den einzelnen Linien muss vergroert werden.

Um dies zu verstehen sind zunachst einige weitere Denitionen notig.

 N: Anzahl vom Messsystem wahrend eines Zeitintervalls TMessung aufgenommener

Messpunkte

 Abtastrate fA: Frequenz mit der die Messpunkte aufgezeichnet wurden. Dabei

werden in gewissen, dem Reziprokwert der Abtastfrequenz entsprechenden Zeitab-

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 13

2.3 Telefonieren mit dem Mehrfrequenzwahlverfahren (MFV) 2 GRUNDLAGEN

standen Momentaufnahmen des Signalverlaufs in digitaler Form festgehalten. Das

heit das Messsignal wird zu bestimmten Zeiten als digitaler Wert (das heit mit

diskreter Amplitude) gespeichert. Bei einer hoheren Abtastrate erfolgen mehr solcher

Momentaufnahmen pro Zeitintervall.

Bei einer Abtastfrequenz fA betragt die hochste darstellbare Frequenz 0:5
fA (Dies soll

an dieser Stelle akzeptiert, jedoch nicht weiter erklart werden; in der Vorlesung

"

Signale

und Systeme\ im dritten Semester wird darauf naher eingegangen).

Mit einer Anzahl von N Messpunkten lassen sich im Bereich von 0 Hz bis 0:5
fA genau N=2

aquidistante Spektrallinien berechnen. Der Abstand der einzelnen Linien betragt demnach

fA=N oder 1=NT. Dabei ist T = 1=fA das Abtastintervall. In dieser Darstellung entspricht

NT der Lange des Messintervalls TMessung. Somit ergibt sich ein einfacher Zusammenhang

zwischen der Beobachtungszeit und der spektralen Au

osung:

Frequenzau

osung=1/Messintervall (20)

Aus der in (20) angegebenen Beziehung wird deutlich, dass es bei konstantem N nicht

gleichzeitig moglich ist eine hohe Au

osung in Zeit und Frequenz zu erhalten.

Entweder man betrachtet einen kleinen Ausschnitt aus dem Zeitsignal, beispielsweise eine

Periode, und erhalt damit eine hohe zeitliche Au

osung, oder man betrachtet einen groes

Zeitintervall um eine hohe Frequenzau

osung zu erhalten. Im zweiten Fall kann man den

genauen zeitlichen Signalverlauf jedoch nicht mehr genau erkennen.

2.3 Telefonieren mit dem Mehrfrequenzwahlverfahren (MFV)

Das Mehrfrequenzwahlverfahren ist ein Beispiel der taglichen Verwendung der Fourier

Transformation. Bei der analogen Telefontechnik ist das Mehrfrequenzwahlverfahren

(auch Tonwahlverfahren) die heute gebrauchliche Wahltechnik. Sie ist im englischen

Sprachraum auch unter DTMF (Dual-tone multi-frequency) oder Touch Tone bekannt.

Beim Mehrfrequenzwahlverfahren, das mit den Tastentelefonen aufkam, sendet jede Taste

ein bestimmtes Tonsignal, welches durch die Uberlagerung zweier Sinussignale unterschiedlicher

Frequenzen reprasentiert wird. Auf der analogen Anschlussleitung des Telefons

stellen die gewahlten Ziernfolgen bzw. Tastenkombinationen Wahlsignale dar. Dieses

Wahlsignal wird von der Vermittlungsstelle erkannt und die entsprechende Leitung

wird zum Aufbau der Verbindung geschaltet. Das Mehrfrequenzwahlverfahren wird auch

fur die Fernabfrage von Anrufbeantwortern oder die Steuerung von Telefoncomputern in

Call-Centern oder bei Informationsdiensten benutzt.

Mit der Einfuhrung der Tastentelefone wurde auch das heute bekannte Tastenlayout

eingefuhrt. Aus der Position der Tasten ergeben sich die beiden Frequenzen. Abbildung 10

zeigt die Frequenzbelegung. Dabei reprasentiert jede Zeile einen tiefen und jede Spalte

einen hohen Ton.

Wenn beispielsweise die Taste

"

2\ gewahlt wird ergibt sich das Tonsignal aus einer Uberlagerung

zweier harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen 697 Hz und 1336 HZ.

Dies kann ausgedruckt werden als

x(t) = cos(2fvertikal
t) + cos(2fhorizontal
t) (21)

= cos(2
697 Hz
t) + cos(2
1336 Hz
t) (22)

Institut fur Mikroelektronik, Universitat Ulm 14

Da sich die Frequenzen der Mehrfrequenzwahl Signale innerhalb des normalen Sprachsignalbandes

benden, konnen sie vom Telefonierenden mitgehort werden. Dies hat jedoch

zur Folge, dass naturliche Gerausche wie Musik von der Vermittlungsstelle ebenfalls als

Signal aufgefasst werden konnen. Daher wurden die Frequenzen bei DTMF so gewahlt,

dass sie Dissonanzen erzeugen, die mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit in der Umgebung

des Telefons auftreten.

Die DTMF-Tonsignale konnen mit Hilfe zweier Sinus-Oszillatoren fur die Spalten- und

Zeilenfrequenzen relativ einfach erzeugt werden. Die Detektion erfolgt mittels eines auf

der Fourier Transformation basierenden Algorithmus.

Digitale Telefonsysteme wie ISDN-Anschlusse oder VoIP benotigen kein Mehrfrequenzwahlverfahren

zur Ubertragung der Rufnummer. Bei diesen Systemen werden die einzelnen

Ziern der Telefonnummer als eine Bitfolge und nicht im Audioband ubertragen.

Die meisten Endgerate ubertragen jedoch parallel auch DTMF-Tone um weiterhin die

Steuerung von Sprachdialogsystemen oder Anrufbeantwortern zu ermoglichen.

Institut f